Grundstrukturen der Analysis II [Paperback]

Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei? neren als normierten R?umen ben?tigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialf?llen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel h?herer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung f?r Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t? (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten? regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, da? (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, da? y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschr?nkend. Verlangt man, da? die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all? gemeinen nicht erf?llt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, da? die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, da? im Falle X = R oder C die nat?r? lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso? morphien sind.Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei? neren als normierten R?umen ben?tigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialf?llen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel h?herer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung f?r Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t? (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten? rlã3